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眾所皆知,現代數學運算的基礎是「阿拉伯數字」(Arabic Numerals) 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,也是唯一一種世界上幾乎所有國家都在普遍使用的數字,當然現在我們都知道,「阿拉伯數字」其實並不是阿拉伯人發明,它源自古印度 (भारत) 最古老的字母「婆羅米文」(brāhmī) 數字,後來被阿拉伯人改良後才傳到西方最終傅遍世界。好了,既然說起印度又提到數字,不其然就讓人想起著名「數學黑洞」6174;數學黑洞?聽起來好像很玄,那到底是什麼?!

 

「數學黑洞」6174 是什麼?

「黑洞」(Black hole) 是宇宙間最神秘的天體,其引力強大到什麼也逃不出來。因此數學界就把在數學上類似的奇特運算現象以「數學黑洞」來形容。

其意思指的是:無論怎樣設值,在特定的法則下,運算到最終都只得到固定的一個數值,就像「黑洞」一樣再也逃不出去,當中最著名的就是「6174」。

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「6174」是由印度數學家卡普雷卡爾 (D.R.Kaprekar),在 1949 年印度馬德拉斯 (Madras) 召開的一次數學會議上,向世界宣佈自己所發現的一組神奇數字,稱為「卡普雷卡爾常數」(Kaprekar's constant)。自從發現這個「數學黑洞」以來,就令一眾數學家、數字控著迷,為什麼?

「6174」乍看很普通,有什麼奇特之處?那我們就一起來看看:

1.隨便挑一組四位數,任何四位數都可以,但其中必須要有至少兩位數不一樣〔包括 0〕,以 4213 為例
2.把這組四位數從大到小排序,得出:4321
3.再把這組四位數從小到大排序,得出:1234
4.於是用大數減去小數:4321 - 1234
5.用所得數重覆 2、3、4 步

好吧,我們來算一次:

◾把 4213 這組四位數大、小排序相減
◾4321 - 1234 = 3087
◾8730 - 0378 = 8352
◾8532 - 2358 = 6174

用 6174 這組數字再大小相減:
◾7641 - 1467 = 6174

當算到 6174 你就會發現無法繼續下去,因為只要一見到 6174 的數字組合就會困那裏,再算下去結果都一樣,6174 就是終點。

你以為這是巧合嗎?隨便再挑一組四位數試試,比如 5002:
◾5200 - 0025 = 5175
◾7551 - 1557 = 5994
◾9954 - 4599 = 5355
◾5553 - 3555 = 1998
◾9981 - 1899 = 8082
◾8820 - 0288 = 8532
◾8532 - 2358 = 6174
◾7641 - 1467 = 6174

不信?再挑一組四位數看看,用今年 2020:
◾2200 - 0022 = 2178
◾8721 - 1278 = 7443
◾7443 - 3447 = 3996
◾9963 - 3699 = 6264
◾6642 - 2466 = 4176
◾7641 - 1467 = 6174

還是不信?再挑一組四位數看看,以我的名字 2047 去算:
◾7420 - 0247 = 7173
◾7731 - 1377 = 6354
◾6543 - 3456 = 3087
◾8730 - 0378 = 8352
◾8532 - 2358 = 6174

不管你挑的四位數是什麼,最終你都會遇到 6174;而且遇到 6174 就只能止步,這就是「卡普雷卡爾常數」了。

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日本大阪經濟大學 (Osaka University of Economics, JPN) 教授西山 豊 (Yutaka Nishiyama) 也認為 6174 是個「謎一樣的數字」。他解釋說,曾用電腦驗證是否所有的四位數都能在有限步驟內得出 6174。

驗證的結果發現,根據卡普雷卡爾的算法,所有四位數〔只要四位數不重覆〕,只需要不多於七步的運算就會得出 6174。

西山教授表示,『如果到第七步還沒有得出 6174,那一定是你算錯了,重算一遍吧。』


有沒有其他「卡普雷卡爾常數」?

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當然有,不過一長串的就太累贅了,找一個三位數試試吧,比如說 574。

◾754 - 457 = 297
◾972 - 279 = 693
◾963 - 369 = 594
◾954 - 459 = 495
◾954 - 459 = 495

隨便再挑一個三位數試試,比如 976

◾976 - 679 = 297
◾972 - 279 = 693
◾963 - 369 = 594
◾954 - 459 = 495
◾954 - 459 = 495

再來試一次,今次用 352

◾532 - 235 = 297
◾972 - 279 = 693
◾963 - 369 = 594
◾954 - 459 = 495
◾954 - 459 = 495

好了,三位數的「數學黑洞」找到了:495。

除了「卡普雷卡爾常數」外,還有沒有其他類似「卡普雷卡爾現象」(Kaprekar Phenomena) 的「數學黑洞」呢?

答案是目前已經知道的還有「西緒福斯黑洞」〔123 黑洞〕(Sisyphean) 及「水仙花數黑洞」〔153 黑洞〕(Narcissistic number),至於還有多少尚未發現暫時也不能確定!

 

色彩繽紛的數學

「卡普雷卡爾常數」沒錯是夠神奇,但還不過是一連串乏味的數學運算 ..... 如果你這樣想就錯了,數學運算也可以變得很漂亮!

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印度「希格里姆技術基金會」(Scigram Technologies Foundation),用電腦 Wolfram 編程語言以一萬個四位數得出「6174」所用步數及不同運算步驟編上顏色碼,結果造出這些彩色繽紛的圖片:

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以藍色代表奇數、綠色代表偶數,結果是

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用綠色代表質數,藍色代表其它數字又如何?

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